Question

（理）已知函數，P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂）是f（x）圖象上兩點．
（1）若x₁+x₂=1，求證：y₁+y₂為定值；
（2）設，其中n∈N*且n≥2，求T_n關于n的解析式；
（3）對（2）中的T_n，設數列{a_n}滿足a₁=2，當n≥2時，a_n=4T_n+2，問是否存在角a，使不等式…對一切n∈N*都成立？若存在，求出角α的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題：y₁=f（x₁），y₂=f（x₂），將f（x₁）和f（x₂）用函數表達式代入，利用對數的運算法則將它們相加，再化簡可得y₁+y₂=log₂2=1（定值），問題得證；
（2）根據（1）的結論可得：，因此可以將T_n按倒序的方法相加的排列，再將此式與原表達式相加，最后配成n-1對數的和，每一對數的和都等于1，因而可得；
（3）將不等式的兩邊都乘以，可得左邊等于…，在（2）的基礎上可得f（n）各項為正數，因此用作商相除的方法探求其單調性．證到，可得f（n+1）＜f（n），所以f（n）隨著n的增大而減小．不等式變形為f（1）＜sinα對一切n∈N*恒成立，得到＜sinα，因此可得角α的取值范圍．
解答：解：（1）當x₁+x₂=1時，=，所以y₁+y₂為定值1．…（4分）
（2）由（1）得，（k=1，2，…，n-1），…（6分）
所以，，
又 ，
于是2T_n=（n-1）×1，所以（n∈N*，n≥2）．…（10分）
（3）由已知，a_n=2n，n∈N*．…（11分）
由…，得…，
令…，則由題意可得f（n）＞0，
于是
==＜1
所以f（n+1）＜f（n），即f（n）隨著n的增大而減小．…（15分）
所以當n∈N*時，f（n）的最大值為，
若存在角α滿足要求，則必須．…（16分）
所以角α的取值范圍為，（k∈Z）…（18分）
點評：本題是一道綜合題，解題的過程中用到了倒序相加法求和、用作商的方法證明數列的單調性和證明不等式恒成立等等知識點，屬于難題．本題對函數與數列的一些高級處理有比較高的要求，考查的知識點與方法較多，綜合性較強．