Question

【題目】已知f（x）=2ln（x+2）﹣（x+1）2 ， g（x）=k（x+1）．
（1）求f（x）的單調區間；
（2）當k=2時，求證：對于x＞﹣1，f（x）＜g（x）恒成立；
（3）若存在x0＞﹣1，使得當x∈（﹣1，x0）時，恒有f（x）＞g（x）成立，試求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解： ，

當f′（x）＞0 時，所以 x2+3x+1＜0，解得﹣2＜x，

當f′（x）＜0時，解得 ，

所以 f（x） 單調增區間為 ，遞減區間是（ ，+∞）；

（2）解：當k=2時，g（x）=2（x+1）．

令H（x）=f（x）﹣g（x）=2ln（x+2）﹣（x+1）2﹣2（x+1）．

H′（x）= ，

令H′（x）=0，即﹣2x2﹣8x﹣6=0，解得x=﹣1或x=﹣3（舍）．

∴當x＞﹣1時，H′（x）＜0，H（x）在（﹣1，+∞）上單調遞減．

∴Hmax（x）=H（﹣1）=0，

∴對于x＞﹣1，H（x）＜0，即f（x）＜g（x）．

（3）解：由（2）知，當k=2時，f （x）＜g （x）恒成立，

即對于“x＞﹣1，2 ln （x+2）﹣（x+1）2＜2 （x+1），不存在滿足條件的x0；

當k＞2時，對于“x＞﹣1，x+1＞0，此時2 （x+1）＜k （x+1）．

∴2 ln （x+2）﹣（x+1）2＜2 （x+1）＜k （x+1），

即f （x）＜g （x）恒成立，不存在滿足條件的x0；

令h（x）=f（x）﹣g（x）=2ln（x+2）﹣（x+1）2﹣k（x+1），

h′（x）= ，

當k＜2時，令t （x）=﹣2x2﹣（k+6）x﹣（2k+2），

可知t （x）與h′（x）符號相同，

當x∈（x0，+∞）時，t （x）＜0，h′（x）＜0，h （x）單調遞減，

當x∈（﹣1，x0）時，h （x）＞h （﹣1）=0，即f （x）﹣g （x）＞0恒成立，

綜上，k的取值范圍為（﹣∞，2）

【解析】（1）求出定義域和導數f′（x），令f′（x）＞0，解出增區間，令f′（x）＜0，解出減區間；（2）令H（x）=f（x）﹣g（x），利用導數判斷出H（x）的單調性和單調區間，得出H（x）的最大值，證明Hmax（x）＜0即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．