Question

（本小題滿分14分）

已知?jiǎng)又本�與橢圓C: 交于P、Q兩不同點(diǎn)，且△OPQ的面積=,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn).

（Ⅰ）證明和均為定值;

（Ⅱ）設(shè)線段PQ的中點(diǎn)為M，求的最大值；

（Ⅲ）橢圓C上是否存在點(diǎn)D,E,G，使得?若存在，判斷△DEG的形狀；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

（I）解：（1）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，P，Q兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，

所以

因?yàn)?sub>在橢圓上，

因此         ①

又因?yàn)?sub>

所以          ②

由①、②得

此時(shí)

   （2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為

由題意知m，將其代入，得

，

其中

即           …………（*）

又

所以

因?yàn)辄c(diǎn)O到直線的距離為

所以

又

整理得且符合（*）式，

此時(shí)

綜上所述，結(jié)論成立。

   （II）解法一：

   （1）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，

由（I）知

因此

   （2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，由（I）知

所以

                 

所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.

綜合（1）（2）得|OM|·|PQ|的最大值為

解法二：

因?yàn)?sub>

                    

所以

即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。

因此 |OM|·|PQ|的最大值為

   （III）橢圓C上不存在三點(diǎn)D，E，G，使得

證明：假設(shè)存在，

由（I）得

因此D，E，G只能在這四點(diǎn)中選取三個(gè)不同點(diǎn)，

而這三點(diǎn)的兩兩連線中必有一條過(guò)原點(diǎn)，

與矛盾，

所以橢圓C上不存在滿足條件的三點(diǎn)D，E，G.