Question

（06年江蘇卷）（16分）

設a為實數，設函數的最大值為g(a)。

　　　（Ⅰ）設t＝，求t的取值范圍，并把f(x)表示為t的函數m(t)

（Ⅱ）求g(a)

（Ⅲ）試求滿足的所有實數a

Answer 1

解析：

要使有t意義，必須1+x≥0且1-x≥0，即-1≤x≤1,

∴t≥0                 ①

t的取值范圍是由①得

∴m(t)=a()+t=

（2）由題意知g(a)即為函數的最大值。

注意到直線是拋物線的對稱軸，分以下幾種情況討論。

當a>0時，函數y=m(t), 的圖象是開口向上的拋物線的一段，

由<0知m(t)在上單調遞增，∴g(a)=m(2)=a+2

(2)當a=0時，m(t)=t, ,∴g(a)=2.

(3)當a<0時,函數y=m(t), 的圖象是開口向下的拋物線的一段，

若，即則

若，即則

若，即則

綜上有 

(3)解法一：

情形1：當時，此時，

由，與a<-2矛盾。

情形2：當時，此時，

解得， 與矛盾。

情形3：當時，此時

所以

情形4：當時，，此時，

矛盾。

情形5：當時，，此時g(a)=a+2,

由解得矛盾。

情形6：當a>0時，，此時g(a)=a+2,

由，由a>0得a=1.

綜上知，滿足的所有實數a為或a=1