Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為，，為橢圓上任意一點，當時，的面積為，且.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知直線經點，與橢圓交于不同的兩點、，且，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由的面積為，再結合橢圓的定義和余弦定理可得，再由可求出的值；

（1）由題意可知直線的斜率存在，設出直線方程，將直線與橢圓的方程聯立方程組，化簡消元，再用韋達定理，然后結合列方程可求出直線的斜率.

（1）設，，則，

在中，，即，

由余弦定理得，即

代入計算得，∴，

又，∴，∴橢圓的方程為；

（2）由題意知直線l存在斜率，設直線l的方程為，

將其代入整理可得，

則，得.

設，則，，

∵，，，

∴，

又∵，，

∴，

得，

化簡得，解得，∵，∴

∴直線的方程為，即.