Question

下列命題正確的個數為 （ ）
①已知-1≤x+y≤1，1≤x-y≤3，則3x-y的范圍是[1，7]；
②若不等式2x-1＞m（x²-1）對滿足|m|≤2的所有m都成立，則x的范圍是（）；
③如果正數a，b滿足ab=a+b+3，則ab的取值范圍是[8，+∞）
④a=log2，b=3，c=（）^0.5大小關系是a＞b＞c．
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer 1

【答案】分析：①借助線性規劃的知識可解得；②變m為主元，利用恒成立可求得x的范圍；③借助基本不等式可得ab的范圍；④借助指對數函數的單調性可判斷大小．
解答：解：①令3x-y=z，作出可行域和直線l：y=3x，

可知當直線y=3x-z過點A（0，-1）（直線x+y=-1與x-y=1的交點）時，z有最小值1，當直線過點B（2，-1）（直線x-y=3與直線x+y=1的交點）時，z有最大值7，
故3x-y的范圍是[1，7]，故①正確；
②原不等式可整理為（x²-1）m-2x+1＞0，令f（m）=（x²-1）m-2x+1，
∵不等式2x-1＞m（x²-1）對滿足|m|≤2的所有m都成立
∴，解得，即＜x＜，故②錯誤；
③∵正數a，b且滿足ab=a+b+3，
∴ab=a+b+3≥2+3，
∴≥4，
∴-1≤-2（舍），或-1≥2，
∴ab≥9，即ab的范圍是[9，+∞），故③錯誤；
④因為對數的底數小于1，而真數大于1，故對數值為負，即a＜0，b＜0，由指數函數可知c＞0，故④錯誤．
故正確答案為：①．
故選A．
點評：本題主要考查了命題真假的判斷，涉及線性規劃的知識、不等式的恒成立中參數范圍的求解、基本不等式、指對數函數的性質等，屬綜合題．解題中要注意常規解題方法的使用與總結，屬于中檔題．