Question

若對(duì)于0≤a≤1，不等式

a

+

1-a

＜p恒成立，則實(shí)數(shù)p的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：令t=

a

+

1-a

，將其平方，利用基本不等式求出最大值，從而求出t的最大值，即可求出p的取值范圍，在運(yùn)用基本不等式時(shí)需注意等號(hào)成立的條件．

解答：解：令t=

a

+

1-a

，
∵0≤a≤1，∴

a

≥0，

1-a

≥0，t＞0
∴t²=a+1-a+2

a

•

1-a

=1+2

a

•

1-a

≤1+(

a

)2+(

1-a

)2=2，
當(dāng)且僅當(dāng)

a

=

1-a

時(shí)，即a=

1

2

時(shí)取等號(hào)，
∴t=

a

+

1-a

≤

2

，
∵對(duì)于0≤a≤1，不等式

a

+

1-a

＜p恒成立，
∴p＞

2

，
∴實(shí)數(shù)p的取值范圍是（

2

，+∞）．
故答案為：（

2

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應(yīng)用，在運(yùn)用基本不等式求最值時(shí)要注意等號(hào)成立的條件是“一正，二定，三相等”，同時(shí)考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題．