Question

（1）利用向量有關知識與方法證明兩角差的余弦公式：C_α-β：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）由C_α-β推導兩角和的正弦公式S_α+β：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．

Answer 1

分析：（1）在平面直角坐標系中，以原點為圓心，作一單位圓，再以原點為頂點，x軸非負半軸為始邊分別作角α，β．
設它們的終邊分別交單位圓于點P₁（cosα，sinα），P₂（cosβ，sinβ），即有兩單位向量

OP1

，

OP2

，它們的所成角是|α-β|，根據向量數量積的性質能夠證明cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ．
（2）先由誘導公式得sin（α+β）=cos（

π

2

-α-β)=cos[(

π

2

-α)-β，再進一步整理為cos[（

π

2

-α)cosβ+sin(

π

2

-β]，然后利用和差公式和誘導公式能夠得到sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．

解答：解：（1）如圖，在平面直角坐標系中，以原點為圓心，
作一單位圓，再以原點為頂點，
x軸非負半軸為始邊分別作角α，β．
設它們的終邊分別交單位圓于點P₁（cosα，sinα），P₂（cosβ，sinβ），…（4分）
即有兩單位向量

OP1

，

OP2

，
它們的所成角是|α-β|，
根據向量數量積的性質得：

OP1

•

OP2

=cos(α-β)=cos|α-β|①
又根據向量數量積的坐標運算得：

OP1

•

OP2

=cosαcosβ+sinαsinβ②
由①②得 cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ…（9分）
（2）sin（α+β）=cos（

π

2

-α-β)=cos[(

π

2

-α)-β]…（11分）
=cos[（

π

2

-α)cosβ+sin(

π

2

-β]…（13分）
=cos（

π

2

-α）cosβ+sin（

π

2

-α）sinβ
=sinαcosβ+cosαsinβ
即有sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ…（15分）

點評：本題考查平面向量的綜合應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件，利用三角函數的性質合理地進行等價轉化．