Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是正三角形，側棱AA₁⊥底面ABC，且各棱長都相等點E是邊AB的中點，則直線C₁E與平面BB₁CC₁所成角的正切值為（　　）

• A．

  3

  5

• B．

  1

  2

• C．

  3

  2

• D．

  3

  3

Answer 1

分析：過點E作EF⊥BC于點F，連接FC₁，可證明∠EC₁F即為直線C₁E與平面BB₁CC₁所成角，設各棱長為1，通過解直角三角形可求得EF，FC₁的長，從而可求tan∠EC₁F=

EF

FC1

．

解答：解：如下圖所示：過點E作EF⊥BC于點F，連接FC₁，
因為BB₁∥AA₁，AA₁⊥底面ABC，所以BB₁⊥底面ABC，
BB₁?面BC₁，所以面BB₁⊥底面ABC，
所以EF⊥面BC₁，則∠EC₁F即為直線C₁E與平面BB₁CC₁所成角，
設各棱長為1，在Rt△EFB中，EF=BE•sin∠EBF=

1

2

×sin60°=

3

4

，BF=BE•cos∠EBF=

1

2

×cos60°=

1

4

，
在Rt△C₁CF中，C1F=

C1C2+CF2

=

12+( 3 4 )2

=

5

4

，
所以tan∠EC₁F=

EF

FC1

=

3 4

5 4

=

3

5

．
故選A．

點評：本題考查直線與平面所成的角的求解問題，考查學生的計算能力，屬中檔題，準確理解線面角的定義是解決該類題目的基礎．