Question

已知a＞1，f(logax)=

a

a2-1

(x-

1

x

)
（1）求f（x）；
（2）判斷f（x）的奇偶性和單調性；
（3）若當x∈（-1，1）時，有f（1-m）+f（1-m²）＜0，求m的集合M．

Answer 1

分析：（1）換元法：令t=log_ax，則x=a^t，代入即可求得函數解析式；
（2）利用函數的奇偶性、單調性的定義即可判斷；
（3）利用函數的奇偶性、單調性先把不等式轉化為具體不等式，再考慮其定義域即可得到一不等式組，解出即可；

解答：解：（1）令t=log_ax，則x=a^t，代入f(logax)=

a

a2-1

(x-

1

x

)，可得f(t)=

a

a2-1

(a2-a-2)
∴函數的解析式f(x)=

a

a2-1

(ax-a-x)；
（2）函數f（x）的定義域為R，關于原點對稱，
且f(-x)=

a

a2-1

(a-x-ax)=-

a

a2-1

(ax-a-x)=-f(x)，
∴f（x）為奇函數；
設x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=

a

a2-1

(ax1-a-x1)-

a

a2-1

(ax2-a-x2)=

a

a2-1

(ax1-ax2)(1+

1

ax1+x2

)，
a＞1時，∵x₁＜x₂，∴

a

a2-1

＞0，ax1-ax2＜0，1+

1

ax1+x2

＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以f（x）單調遞增；
（3）若當x∈（-1，1）時，有1-m∈（-1，1）且1-m²∈（-1，1），
f（1-m）+f（1-m²）＜0可化為f（1-m）＜-f（1-m²），
∵f（x）為奇函數，∴f（1-m）＜f（m²-1），又f（x）為增函數，∴1-m＜m²-1，
由

-1＜1-m＜1 -1＜1-m2＜1 m2+m-2＞0

解得，1＜m＜

2

，
故M={m|1＜m＜

2

}．

點評：本題考查函數奇偶性、單調性及其應用，考查抽象不等式的求解，考查學生靈活運用知識解決問題的能力．