Question

（2012•鐵嶺模擬）已知函數f（x）=x|x-2|，若存在互不相等的實數a，b，c，使f（a）=f（b）=f（c） 成立，則a+b+c的取值范圍是（　　）

• A．[4，3+

  2

  ]
• B．[4，3+

  2

  )
• C．(4，3+

  2

  ]
• D．(4，3+

  2

  )

Answer 1

分析：利用絕對值的幾何意義，化簡函數解析式，可得函數的圖象，利用不相等的實數a，b，c，使f（a）=f（b）=f（c） 成立，a+b=2，2＜c＜1+

2

，從而可得結論．

解答：解：函數f（x）=x|x-2|=

x2-2x=(x-1)2-1，x≥2 -x2+2x=-(x-1)2+1，x＜2

，圖象如圖所示；
∵x=1時，函數值為1
∴由-x²+2x=1（x≥2），可得x=1+

2

∵不相等的實數a，b，c，使f（a）=f（b）=f（c） 成立，
∴a+b=2，2＜c＜1+

2

∴4＜a+b+c＜3+

2

故選D．

點評：本題考查絕對值函數，考查數形結合的數學思想，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．