Question

設z是虛數是實數,且.

(1)求|z|的值及z的實部的取值范圍;

(2)設求證:u為純虛數;

(3)求的最小值.

 

Answer 1

【答案】

解：(1)∵z是虛數,∴可設z=x+yiR,且 、

∴ii

i.

∵是實數且∴.

∴即|z|=1.此時.

∵∴-1<2x<2,從而有.

即z的實部的取值范圍是.

(2)證法一:i,

∵∴.∴u為純虛數.

證法二:∵z為虛數,且|z|=1  ,∴z=1 , 即.

 .

∴u為純虛數.

(3)i?

2x+

∵∴1+x>0.

于是  

當且僅當2即x=0時等號成立.

∴的最小值為1,此時i.

【解析】本試題主要是考查了復數的概念和運算的綜合運用

（1）因為z是虛數,∴可設z=x+yiR,且 、

∴ii

從而證明u是純虛數。

（2）i，然后化簡和計算得到

 然后借助于函數思想得到結論。