Question

如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A′B′C′D′中，AP=BQ=b（0＜b＜1）截面PQEF∥A′D，截面PQGH∥AD′．證明：
（1）平面PQEF⊥平面PQGH；
（2）截面PQEF和截面PQGH面積之和是定值，并求出這個定值．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離

分析：（1）證明PH⊥平面PQEF，利用面面垂直的判定定理，即可證明平面PQEF⊥平面PQGH；
（2）由（1）知，PF=

2

AP，PH=

2

PA/，即可證明截面PQEF和截面PQGH面積之和是定值，并求出這個定值．

解答： 證明：（1）在正方體中AD′⊥A′D，AD′⊥AB，
又由已知可得PF∥A′D，PH∥AD′，PQ∥AB，
所以PH⊥PF，PH⊥PQ，
因為PF∩PQ=P，
所以PH⊥平面PQEF，
又PH?平面PQEF，
所以平面PQEF⊥平面PQGH．
（2）由（1）知，PF=

2

AP，PH=

2

PA/，
又截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且PQ=1，
所以截面PQEF和截面PQGH的面積之和為(

2

AP+

2

PA/)×PQ=

2

是定值．

點評：本題考查平面與平面垂直的判定，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．