Question

根據如圖所示的流程圖，將輸出的的值依次分別記為，將輸出的的值依次分別記為．

（Ⅰ）求數列，通項公式；
（Ⅱ）依次在與中插入個3，就能得到一個新數列，則是數列中的第幾項？
（Ⅲ）設數列的前項和為，問是否存在這樣的正整數，使數列的前項的和，如果存在，求出的值，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

（1），；（2）是數列中的第17項；（3）當時，

Ⅰ）由流程圖，，
是公差為1的等差數列．∴．
由流程圖，，
∴．
∴是首項為1，公比為3的等比數列．
∴，∴．
（Ⅱ）的前幾項為，
＝4，∴是數列中的第17項．
（Ⅲ）數列中，項（含）前的所有項的和是：
，
當時，其和為，
當時，其和為．
又因為2008－1120＝888＝296×3，是3的倍數，
故當時，．