Question

已知拋物線的焦點F在y軸上，拋物線上一點A（a，4）到準線的距離是5，過點F的直線與拋物線交于M，N兩點，過M，N兩點分別作拋物線的切線，這兩條切線的交點為T．
（I）求拋物線的標準方程；
（II）求

FT

•

MN

的值；
（III）求證：|

FT

|是|

MF

|和|

NF

|的等比中項．

Answer 1

（I）由題意可設拋物線的方程為x²=2py（p≠0）．
因為點A（a，4）在拋物線上，所以p＞0．
又點A（a，4）到拋物線準線的距離是5，所以

p

2

+4=5，可得p=2．
所以拋物線的標準方程為x²=4y．

（II）點F為拋物線的焦點，則F（0，1）．
依題意可知直線MN不與x軸垂直，
所以設直線MN的方程為y=kx+1.由

y=kx+1 x2=4y.

得x2-4kx-4=0.
因為MN過焦點F，所以判別式大于零．
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
則x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4．

MN

=(x2-x1，y2-y1)=(x2-x1，k(x2-x1)).
由于x2=4y，所以y′=

1

2

x.
切線MT的方程為y-y1=

1

2

x1(x-x1)，①
切線NT的方程為y-y2=

1

2

x2(x-x2).②
由①，②，得T(

x1+x2

2

，

x1x2

4

)
則

FT

=T(

x1+x2

2

，

x1x2

4

-1)=(2k，-2)
所以

FT

•

MN

=0.

（III）證明：|

FT

|2=(2k)2+(-2)2=4k2+4.
由拋物線的定義知|

MF

|=y1+1，|

NF

|=y2+1.
則|

MF

|•|

NF

|=(y1+1)(y2+1)=(kx1+2)(kx2+2)
=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=4k²+4．
所以|

FT

|2=|

MF

|•|

NF

|.
即|

FT

|是|

MF

|和|

NF

|的等比中項．