Question

已知橢圓具有性質：若M、N是橢圓C：+=1（a＞b＞0）上關于原點對稱的兩個點，點P是橢圓上任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記為k_PM、k_PN時，那么k_PM與k_PN之積是與點P位置無關的定值．試對雙曲線C′：-=1寫出具有類似特性的性質，并加以證明．

Answer 1

【答案】分析：設點M的坐標為（m，n），則點N的坐標為（-m，-n），進而可知-=1、又設點P的坐標為（x，y），表示出直線PM和PN的斜率，求的兩直線斜率乘積的表達式，把y和x的表達式代入發現結果與p無關．
解答：解：類似的性質為若MN是雙曲線-=1上關于原點對稱的兩個點，點P是雙曲線上任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記為k_PM、k_PN時，那么k_PM與k_PN之積是與點P位置無關的定值．
設點M的坐標為（m，n），則點N的坐標為（-m，-n），
其中-=1、又設點P的坐標為（x，y），
由k_PM=，k_PN=，
得k_PM•k_PN=•=，
將y²=x²-b²，n²=m²-b²，代入得k_PM•k_PN=．
點評：本題主要考查了圓錐曲線的共同特征．考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力．