Question

已知各項全不為零的數列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=

1

3

a_na_n+1（n∈N^*），其中a₁=1．則a_n=

a_n=

3 2 n- 1 2 3 2 n

；

n為奇數 n為偶數

．

Answer 1

分析：由題意可得S_n-1=

1

3

a_n-1a_n，與已知式子相減可得a_n+1-a_n-1=3，即數列的奇數項，和偶數項均為公差為3的等差數列，由等差數列的通項公式分別可得．

解答：解：由題意可得

Sn= 1 3 an+1an Sn-1= 1 3 anan-1

，

① ②

①-②可得：an=

1

3

an(an+1-an-1)，
∵a_n≠0，∴a_n+1-a_n-1=3，
又∵a₁=1，a₂=3；
∴an=

3 2 n- 1 2 3 2 n

，

n為奇數 n為偶數

，
故答案為：an=

3 2 n- 1 2 3 2 n

，

n為奇數 n為偶數

點評：本題考查數列通項公式的求解，分類求解是解決問題的關鍵，屬中檔題．