Question

（Ⅰ）如圖，正方形OABC在二階矩陣M對應的切變變換作用下變為平行四邊形OA′B′C′，平行四邊形OA'B'C'在二階矩陣N對應的旋轉變換作用下變為平行四邊形OA''B''C''，求將正方形OABC變為平行四邊形OA''B''C''的變換對應的矩陣．
（Ⅱ）在直角坐標系xOy中，圓O的參數方程為

x=- 2 2 +rcosθ y=- 2 2 +rsinθ

（θ為參數，r＞0）．以O為極點，x軸正半軸為極軸，并取相同的單位長度建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρsin(θ+

π

4

)=

2

2

．寫出圓心的極標，并求當r為何值時，圓O上的點到直線l的最大距離為3．
（Ⅲ）已知a²+2b²+3c²=6，若存在實數a，b，c，使得不等式a+2b+3c＞|x+1|成立，求實數x的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先設正方形OABC變為平行四邊形OA''B''C''的變換對應的矩陣M=

a b c d

，由于點A（2，0）經矩陣M變換為A''（0，2），C（0，2）經矩陣M變換為C''（-2，2），列出 關于a，b，c，d 的方程式即可解得a，bc，d．從而寫出變換對應的矩陣；
（Ⅱ）先寫出圓心的極坐標(1，

5π

4

)和直線的方程，再利用直線與圓的位置關系即可求得圓O上的點到直線的最大距離；
（Ⅲ）先根據由柯西不等式得（a+2b+3c）²≤（a²+2b²+3c²）（1+2+3），得到不等關系|x+1|＜6最后解此絕對值不等式即得．

解答：（Ⅰ）解：設正方形OABC變為平行四邊形OA''B''C''的變換對應的矩陣M=

a b c d

，
如圖點A（2，0）經矩陣M變換為A''（0，2），C（0，2）經矩陣M變換為C''（-2，2），
所以

a b c d

2 0

=

0 2

，即

2a=0 2c=2.

（3分）

a b c d

0 2

=

-2 2

，即

2b=-2 2d=2.

（5分）
解得a=0，c=1，b=-1，d=1，
所以M=

0 1 -1 1

．（7分）
（Ⅱ）解：圓心的極坐標(1，

5π

4

)．（3分）
直線為x+y-1=0，
圓心O（-

2

2

，-

2

2

）到直線的距離為d=

|- 2 -1|

2

，（5分）
圓O上的點到直線的最大距離為

|- 2 -1|

2

+r=3，解得r=2-

2

2

．（7分）
（Ⅲ）由柯西不等式得（a+2b+3c）²≤（a²+2b²+3c²）（1+2+3），
當且僅當a=b=c=1時，等號成立．（3分）
故a+2b+3c的最大值為6，故|x+1|＜6，（5分）
解得{x|-7＜x＜5}．（7分）

點評：本題主要考查了二階矩陣，幾種特殊的矩陣變換、考查圓的參數方程、參數方程的概念、絕對值不等式的解法等基礎知識，不等式的證明問題，其中涉及到柯西不等式的應用問題，有一定的技巧性，需要同學們柯西不等式非常熟練，屬于中檔題目．