Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點為F（

3

，0），且離心率e=

3

2

．
（I）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）若點P的坐標為（2，1），不經(jīng)過原點O的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，設線段AB的中點為M，點P到直線l的距離為d，且M，O，P三點共線．求

3

5

|AB|2+

5

4

d2的最大值．

Answer 1

分析：（I）利用右焦點為F（

3

，0），且離心率e=

3

2

，求出幾何量，即可求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）分類討論，設出直線方程代入橢圓方程，利用M，O，P三點共線，求出斜率，求出相應距離，利用配方法，即可得出結論．

解答：解：（I）由題意，c=

3

由e=

3

2

，可得a=2
∴b²=a²-c²=1
∴橢圓C的標準方程為

x2

4

+y2=1；
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
當直線l與x軸垂直時，由橢圓的對稱性，可得點M在x軸上，且與O點不重合，顯然M，O，P三點不共線，不符合題設條件；
故可設直線l的方程為y=kx+m（m≠0），代入橢圓方程可得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0
∴x₁+x₂=-

8km

1+4k2

，x₁x₂=

4m2-4

1+4k2

∴M（-

4km

1+4k2

，

m

1+4k2

）
∵M，O，P三點共線，
∴k_OM=k_OP
∴2m=-4km
∵m≠0，∴k=-

1

2

此時方程為x²-2mx+2m²-2=0
由△＞0，可得-

2

＜m＜

2

，且x₁+x₂=2m，x₁x₂=2m²-2
∴|AB|²=（1+k²）[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]=10-5m²
∵d=

2|2-m|

5

∴

3

5

|AB|2+

5

4

d2=-2（m+1）²+12
∵-

2

＜m＜

2

∴m=-1時，

3

5

|AB|2+

5

4

d2的最大值為12．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．