Question

（2010•湖北模擬）已知數列|a_n|滿足：an=n+1+

8

7

an+1，且存在大于1的整數k使ak=0，m=1+

8

7

a1．
（1）用k表示m（化成最簡形式）；
（2）若m是正整數，求k與m的值；
（3）當k大于7時，試比較7（m-49）與8（k²-k-42）的大小．

Answer 1

分析：（1）利用數列|a_n|滿足：an=n+1+

8

7

an+1，且存在大于1的整數k使ak=0，m=1+

8

7

a1．逐步迭代可得m=1+2×

8

7

+3×(

8

7

)2+…+k×(

8

7

)k-1，再寫一式，兩式相減，可求；
（2）由k＞1，m是正整數，可知|k-7|＜7^n-1，故有k-7=0，所以可求k=7，m=49；
（3）根據（1），表示出7（m-49），進而利用二項式定理可證．

解答：解：（1）m=1+

8

7

a1=1+

8

7

(2+

8

7

a2）
=1+2×

8

7

+(

8

7

)2a2
=1+2×

8

7

+(

8

7

)2[3+

8

7

a3]
=1+2×

8

7

+3×(

8

7

)2+…+k×(

8

7

)k-1               ①…（2分）
∴

8

7

m=1×

8

7

+2×(

8

7

)2+3×(

8

7

)3+…+k×(

8

7

)k   ②
由①-②得-

1

7

m=1+1×

8

7

+(

8

7

)2+…+(

8

7

)k-1-k×(

8

7

)k…（4分）
∴-

1

7

m=

( 8 7 )k-1

8 7 -1

-k×(

8

7

)k
∴m=49+（k-7）×

8k

7k-1

…（6分）
（2）由k＞1知|k-7|＜7^n-1
又∵m∈N^*故此有k-7=0
故k=7，m=49…（9分）
（3）∵m=49+（k-7）×

1

7k-1

∴7（m-49）=56（k-7）•(1+

1

7

)k-1
=56（k-7）[1+C_k-1¹•

1

7

+

C

2 k-1

•

1

72

+…+

C

k-1 k-1

•

1

7k-1

]＞56(k-7)[1+

C

1 k-1

+

1

7

＞8（k-7）（k+6）
=8（k²-k-42）
∴7（m-49）＞8（k²-k-42）…（14分）

點評：本題以數列為依托，綜合考查數列與不等式，借助于錯位相減法考查數列求和，考查利用二項式定理比較大小．