Question

【題目】設定義在上的函數.

（1）求函數的單調區間；

（2）若存在，使得成立，求實數的取值范圍；

（3）定義:如果實數滿足， 那么稱比更接近.對于（2）中的及，問:和哪個更接近？并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）的單調增區間為，減區間為；（2）；（3）比更接近.

【解析】

（1）對函數求導，根據的取值范圍，分類討論函數的單調性；

（2）存在，使得成立，即成立.根據（1）的分類情況進行討論分析，最后求出實數的取值范圍；

（3）構造函數：，，分別求導，求出函數的單調區間，根據單調區間進行分類討論：，判斷函數的正負性，從而判斷出和哪個更接近.

（1）

當時，，在R上為增函數；

當時，由，得，即

，由，得.

∴函數的單調增區間為，減區間為；

（2）存在，使得成立，即成立.

由（1）知，當時，在上為增函數，則，

不滿足成立,

當時，若，則在上為增函數，則，

不滿足成立,

若，即，則在上單調遞減，在上單調遞增，

.

∴實數a的取值范圍是；

（3）令，

，在上單調遞減，

故當時，，當時，；

，，在上單調遞增，

故，則在上單調遞增，.

①當，令

.

，故在上單調遞減，

，即

，

∴比更接近；

②當時，令

，

，故

在上單調遞減，

，即，

∴比更接近.

綜上，當及時，比更接近.