Question

設A={(x,y)|y²－x－1=0},B={(x,y)|4x²+2x－2y+5=0},C={(x,y)|y=kx+b},是否存在k、b∈N,使得(A∪B)∩C=，證明此結論.

Answer 1

k=1,故存在自然數k=1,b=2,使得(A∪B)∩C=

∵(A∪B)∩C=，∴A∩C=且B∩C=
∵ ∴k²x²+(2bk－1)x+b²－1=0
∵A∩C=
∴Δ₁=(2bk－1)²－4k²(b²－1)<0
∴4k²－4bk+1<0,此不等式有解，
其充要條件是16b²－16>0, 
即     b²>1           ①
∵
∴4x²+(2－2k)x+(5+2b)=0
∵B∩C=,∴Δ₂=(1－k)²－4(5－2b)<0
∴k²－2k+8b－19<0, 從而8b<20,
即     b<2.5            ②
由①②及b∈N,得b=2代入由Δ₁<0和Δ₂<0組成的不等式組，得

∴k=1,故存在自然數k=1,b=2,使得(A∪B)∩C=.