Question

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

3

=1（a＞

3

）的離心率e=

1

2

．直線x=t（t＞0）與曲線 E交于不同的兩點M，N，以線段MN 為直徑作圓 C，圓心為 C．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若圓C與y軸相交于不同的兩點A，B，求△ABC的面積的最大值．

Answer 1

（1）∵橢圓E：

x2

a2

+

y2

3

=1（a＞

3

）的離心率e=

1

2

，
∴

a2-3

a

=

1

2

，解得a=2．
∴橢圓E的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）依題意，圓心C（t，0）（0＜t＜2）．
由

x=t x2 4 + y2 3 =1

，得y2=

12-3t2

4

．
∴圓C的半徑為r=

12-3t2

2

．
∵圓C與y軸相交于不同的兩點A，B，且圓心C到y軸的距離d=t，
∴0＜t＜

12-3t2

2

，即0＜t＜

2 21

7

．
∴弦長|AB|=2

r2-d2

=2

12-3t2 4 -t2

=

12-7t2

．
∴△ABC的面積S=

1

2

•t•

12-7t2

=

1

2 7

×(

7

t)•

12-7t2

≤

1

2 7

×

( 7 t)2+12t-7t2

2

=

3 7

7

．
當且僅當

7

t=

12-7t2

，即t=

42

7

時等號成立．
所以△ABC的面積的最大值為

3 7

7

．