Question

已知直線Ax+By+C=0，
（1）系數為什么值時，方程表示通過原點的直線；
（2）系數滿足什么關系時與坐標軸都相交；
（3）系數滿足什么條件時只與x軸相交；
（4）系數滿足什么條件時是x軸；
（5）設P（x₀，y₀）為直線Ax+By+C=0上一點，證明：這條直線的方程可以寫成A（x-x₀）+B（y-y₀）=0．

Answer 1

解：（1）將O（0，0）代入Ax+By+C=0中
得C=0且A、B不同為零．
（2）直線Ax+By+C=0與坐標軸都相交，說明橫縱截距a、b均存在．
設x=0，得；
設y=0，得均成立，
∴系數A、B應均不為零．
（3）直線Ax+By+C=0只與x軸相交，就是指與y軸不相交--平行、重合均可．
因此直線方程將化成x=a的形式，
故B=0且A≠0為所求．
（4）x軸的方程為y=0，直線方程Ax+By+C=0中A=0，C=0，B≠0即可．
B可以不為1，即By=0也可以等價轉化為y=0．
（5）∵P（x₀，y₀）在直線Ax+By+C=0上，
∴（x₀，y₀）滿足方程Ax+By+C=0，即Ax₀+By₀+C=0，
∴C=-Ax₀-By₀，
故Ax+By+C=0可化為Ax+By-Ax₀-By₀=0，
即A（x-x₀）+B（y-y₀）=0．
分析：（1）首先注意這個方程表示一條直線的條件，即A，B不同時為0，在把原點的坐標代入，得到C要滿足的條件．
（2）直線與坐標軸都相交，說明直線不與兩條坐標軸垂直，因次得到A，B都不為0．
（3）直線Ax+By+C=0只與x軸相交，就是指與y軸不相交--平行、重合均可，因此直線方程將化成x=a的形式．
（4）直線是x軸，x軸的方程為y=0，直線方程Ax+By+C=0中A=0，C=0，B≠0即可．
（5）點是直線上的點，則點的坐標滿足直線的方程，把點的坐標代入直線的方程，整理成所要的形式．
點評：本題考查了直線與坐標系的所有關系，是一個非常全面的問題，一個題目可以概括直線的絕大部分內容，是一個好題．