Question

（2012•肇慶二模）“肇實，正名芡實，因肇慶所產(chǎn)之芡實顆粒大、藥力強，故名．”某科研所為進一步改良肇實，為此對肇實的兩個品種（分別稱為品種A和品種B）進行試驗．選取兩大片水塘，每大片水塘分成n小片水塘，在總共2n小片水塘中，隨機選n小片水塘種植品種A，另外n小片水塘種植品種B．
（1）假設n=4，在第一大片水塘中，種植品種A的小片水塘的數(shù)目記為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學期望；
（2）試驗時每大片水塘分成8小片，即n=8，試驗結束后得到品種A和品種B在每個小片水塘上的每畝產(chǎn)量（單位：kg/畝）如下表：

號碼	1	2	3	4	5	6	7	8
品種A	101	97	92	103	91	100	110	106
品種B	115	107	112	108	111	120	110	113

分別求品種A和品種B的每畝產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差；根據(jù)試驗結果，你認為應該種植哪一品種？

Answer 1

分析：（1）ξ可能的取值為0，1，2，3，4．分別求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），P（ξ=4），由此能求出ξ的分布列和ξ的數(shù)學期望．
（2）分別算出品種A的每畝產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差以及品種B的每畝產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差，由此知應該選擇種植品種B．

解答：（本小題滿分12分）
解：（1）ξ可能的取值為0，1，2，3，4．（1分）
P(ξ=0)=

1

C 4 8

=

1

70

，
P(ξ=1)=

C 1 4 C 3 4

C 4 8

=

16

70

，
P(ξ=2)=

C 2 4 C 2 4

C 4 8

=

36

70

，
P(ξ=3)=

C 3 4 C 1 4

C 4 8

=

16

70

，
P(ξ=4)=

1

C 4 8

=

1

70

，
即ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3	4
P	1 70	16 70	36 70	16 70	1 70

（4分）ξ的數(shù)學期望為E(ξ)=0×

1

70

+1×

16

70

+2×

36

70

+3×

16

70

+4×

1

70

=2（6分）
（2）品種A的每畝產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：

.

x

A=

1

8

(101+97+92+103+91+100+110+106)=100（7分）sA2=

1

n

(1+32+82+32+92+0+102+62)≈37.4（8分）
品種B的每畝產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：

.

x

B=

1

8

(115+107+112+108+111+120+110+113)=112（9分）
sB2=

1

n

(32+52+0+42+1+82+22+1)≈14.7（10分）
由以上結果可以看出，品種B的樣本平均數(shù)大于品種A的樣本平均數(shù)，
且品種B的樣本方差小于品種A，
故應該選擇種植品種B．（12分）

點評：本題考查離散型隨機變量的性質和應用，解題時要認真審題，注意統(tǒng)計知識的靈活運用．