Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，且

S

2 n

-2Sn-anSn+1=0，n=1，2，3…
（1）求a₁，a₂；
（2）求S_n與S_n-1（n≥2）的關系式，并證明數列{

1

Sn-1

}是等差數列；
（3）求S₁•S₂•S₃…S₂₀₁₁•S₂₀₁₂的值．

Answer 1

分析：（1）n分別取1，2，代入計算，可求a₁，a₂；
（2）當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，代入條件，即可證得數列{

1

Sn-1

}是等差數列；
（3）根據（2）的結論，利用點疊乘法，即可得到結論．

解答：（1）解：當n=1時，由已知得a12-2a1-a12+1=0，解得a1=

1

2

同理，可解得a2=

1

6

                              …（4分）
（2）證明：由題設

S

2 n

-2Sn-anSn+1=0
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1
代入上式，得S_nS_n-1-2S_n+1=0
∴Sn=

1

2-Sn-1

，∴

1

Sn-1

=-1+

1

Sn-1-1

∴{

1

Sn-1

}是首項為

1

S1-1

=-2，公差為-1的等差數列         …（9分）
∴

1

Sn-1

=-2+（n-1）•（-1）=-n-1
∴S_n=

n

n+1

  …（11分）
（3）解：S₁•S₂•S₃…S₂₀₁₁•S₂₀₁₂=

1

2

•

2

3

•

3

4

…•

2011

2012

•

2012

2013

=

1

2013

 （13分）

點評：本題考查數列遞推式，考查等差數列的證明，考查疊乘法，屬于中檔題．