Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）設(shè)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)（），若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）分類討論，詳見解析；（2）．

【解析】

（1）求出導(dǎo)函數(shù)，令，利用判別式討論的取值范圍，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可求解.

（2）根據(jù)題意可得是方程的兩個(gè)不等正實(shí)根，由（1）知，利用韋達(dá)定理得，且，然后分離參數(shù)只需恒成立，，從而令，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值即可求解.

（1）因?yàn)?/span>，

所以．

令，，

當(dāng)即時(shí)，，即，

所以函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為．

當(dāng)即或時(shí)，．

若，則，所以，即，

所以函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為．

若，則，由，即得或；

由，即得．

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為．

綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．

（2）由（1）得，

若有兩個(gè)極值點(diǎn)，則是方程的兩個(gè)不等正實(shí)根，

由（1）知．則，故，

要使恒成立，只需恒成立．

因?yàn)?/span>

令，則，

當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，所以．

由題意，要使恒成立，只需滿足．

所以實(shí)數(shù)的取值范圍．