Question

在△ABC中，三個內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若

c

a+b

+

a

b+c

=1，試問A、B、C是否成等差數列，若不成等差數列，請說明理由．若成等差數列，請給出證明．

Answer 1

分析：A、B、C成等差數列，理由為：已知等式去分母整理后得到關系式，利用余弦定理表示出cosB，將得出的關系式代入求出cosB的值，確定出B的度數，利用等差數列的性質判斷即可得證．

解答：解：A、B、C成等差數列，
證明如下：
∵

c

a+b

+

a

b+c

=1，
∴c（b+c）+a（a+b）=（a+b）（b+c），
∴b²=a²+c²-ac，即a²+c²-b²=ac，
在△ABC中，由余弦定理，得cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

ac

2ac

=

1

2

，
∵0＜B＜180°，∴B=60°，
∴A+C=2B=120°，
∴A、B、C成等差數列．

點評：此題考查了余弦定理，等差數列的性質，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握余弦定理是解本題的關鍵．