Question

已知f是直角坐標平面xOy到自身的一個映射，點P在映射f下的象為點Q，記作Q=f(P)，設P₁（x₁，y₁），P₂=f(P₁)，P₃=f(P₂)，…，P_n=f(P_n-1)，…。如果存在一個圓，使所有的點P_n(x_n，y_n)(n∈N*)都在這個圓內或圓上，那么稱這個圓為點P_n(x_n，y_n)的一個收斂圓。特別地，當P₁=f(P₁)時，則稱點P₁為映射f下的不動點，
(Ⅰ)若點P(x，y)在映射f下的象為點Q(2x，1-y)，
①求映射f下不動點的坐標；
②若P₁的坐標為(1，2)，判斷點P_n(x_n，y_n)(n∈N*)是否存在一個半徑為3的收斂圓，并說明理由；
(Ⅱ)若點P(x，y)在映射f下的象為點，P₁(2，3)，求證：點P_n(x_n，y_n)(n∈N*)存在一個半徑為的收斂圓。

Answer 1

（Ⅰ）①解：設不動點的坐標為，
由題意，得，解得，
所以映射f下不動點為；
②結論：點P_n(x_n，y_n)不存在一個半徑為3的收斂圓。
證明：由，得，
所以，
則點P₁，P₄不可能在同一個半徑為3的圓內，
所以點P_n(x_n，y_n)(n∈N*)不存在一個半徑為3的收斂圓。
（Ⅱ）證明：由，得，
由，得，
所以；
由，得，
所以，
即，
由，得，同理，
所以，
所以數列都是公比為的等比數列，首項分別為，
所以，
同理可得，
所以對任意n∈N*，，
設A（3，1），則，
所以，
故所有的點都在以A（3，1）為圓心，為半徑的圓內或圓上，
即點存在一個半徑為的收斂圓。