Question

【題目】某高科技企業研制出一種型號為A的精密數控車床，A型車床為企業創造的價值逐年減少（以投產一年的年初到下一年的年初為A型車床所創造價值的第一年）.若第 1 年A型車床創造的價值是250萬元，且第1年至第6年，每年A型車床創造的價值減少30萬元；從第7年開始，每年A型車床創造的價值是上一年價值的 50％.現用()表示A型車床在第n年創造的價值.

（1）求數列的通項公式；

（2）記為數列的前n項的和，企業經過成本核算，若 萬元，則繼續使用A型車床，否則更換A型車床，試問該企業須在第幾年年初更換A型車床？（已知：若正數數列是單調遞減數列，則數列也是單調遞減數列）.

Answer 1

【答案】(1) ();(2)12

【解析】

(1)由題意可得:第1年至第6年時為遞減等差數列,易求;從第7年開始為以為首項,公比的等比數列,則可求得;

(2)由(1)知數列是單調遞減數列,則也是單調遞減數列,當時,易求100萬元;當時，通過計算判斷萬元,萬元,則可得第12年年初更換車床.

(1)由題意可得在第1年至第6年時數列為以為首項,公差的等差數列,所以可得在第7年開始數列是以為首項,公比的等比數列，則可求得,

綜上可得數列的通項公式 ();

(2)由(1)知數列是單調遞減數列,則由題意得新數列即也是單調遞減數列,當時,（萬元）,所以前六年不用更換車床;

當時,

由（萬元）,（萬元）,且是單調遞減數列,可得當時,（萬元）恒成立,所以該企業必須在第12年年初更換車床.