Question

設函數，是定義域為R上的奇函數．
（1）求的值，并證明當時，函數是R上的增函數；
（2）已知，函數，，求的值域；
（3）若，試問是否存在正整數，使得對恒成立？若存在，請求出所有的正整數；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）如下（2）（3）存在正整數=3或4

試題分析：解：（1）是定義域為R上的奇函數，，得．
此時，，，即是R上的奇函數．
設，則，
，，，在R上為增函數．
（2），即，或（舍去），
 
令，由（1）知在[1，2]上為增函數，∴，
，
當時，有最大值；當時，有最小值，
∴的值域．
（3）=，，
假設存在滿足條件的正整數，則，
①當時，．
②當時，，則，令，則，易證在上是增函數，∴．
③當時，，則，令，則，易證在上是減函數，∴．
綜上所述，，∵是正整數，∴=3或4．
∴存在正整數=3或4，使得對恒成立．
點評：本題難度較大。函數的單調性對求最值、判斷函數值大小關系和證明不等式都有較大幫助，而求函數的單調性有時可以結合導數來求。