Question

已知頂點在坐標原點的拋物線C的準線方程為y=-1，在[-1，1]上任取兩個數a，b，那么點（a，b）在拋物線C上方的概率為

11

24

．

Answer 1

分析：根據準線方程可求得p，注意焦點的位置，則拋物線的標準方程可得．在[-1，1]上任取兩個數a，b，故

-1≤a≤1 -1≤b≤1

①，點（a，b）在拋物線C上方，則△=a²-4b＜0②，轉化為②和①對應的面積之比即可．

解答：解：∵準線方程y=-1，∴

p

2

=1，解得p=2，
又知拋物線的焦點在y軸上，
故拋物線的方程為x²=4y，
在[-1，1]上任取兩個數a，b，故

-1≤a≤1 -1≤b≤1

①，
點（a，b）在拋物線C上方，則a²-4b＜0②
如圖：
故點（a，b）在拋物線C上方的概率為陰影部分的面積和①所對應的正方形的面積之比．
紅色陰影部分的面積為

∫

1 0

1

4

x2dx=

1

12

x³

|

1 0

=

1

12

，
所以點（a，b）在拋物線C上方的概率為

2-2× 1 12

4

=

11

24

．
故答案為：

11

24

．

點評：本題考查幾何概型、定積分的應用等知識．幾何概型是新課標新增內容，因此也是考試的熱點，而且往往與函數有關知識相結合