Question

21、已知兩個(gè)實(shí)數(shù)集合A={a₁，a₂，…，a₁₀₀}，B={b₁，b₂，…，b₅₀}，若從A到B的映射f使得B中每個(gè)元素都有原象，且f（ a₁）≤f（a₂）≤…≤f（a₁₀₀），這樣的映射共有

C₉₉⁹⁹

個(gè)．（用符號(hào)作答）．

Answer 1

分析：本題直接考慮集合A中每一個(gè)元素在B中的象的情況非常困難．注意到集合B中每個(gè)元素都有原象，即A中有50“組”元素分別與B中的50個(gè)元素對(duì)應(yīng)；現(xiàn)將集合A中的100個(gè)元素按原有的順序分成50組，每組至少一個(gè)元素；將集合B中的元素按從小到大的順序排列為B={b₁′，b₂′，，b₅₀′}；∵f（a₁）≤f（a₂）≤≤f（a₁₀₀），∴A中的“第1組”元素的象為b₁′，“第2組”元素的象為b₂′，，“第50組”元素的象為b₅₀′，此處沒(méi)有排列的問(wèn)題，即只要A中元素的分組確定了，映射也就隨之確定了；而A中元素的分組可視為在由這100個(gè)元素所形成的99個(gè)“空”中插上49塊“擋板”，所以有C₉₉⁴⁹種分法，即映射共有C₉₉⁹⁹個(gè)．

解答：解：本題直接考慮集合A中每一個(gè)元素在B中的象的情況非常困難．
注意到集合B中每個(gè)元素都有原象，即A中有50“組”元素分別與B中的50個(gè)元素對(duì)應(yīng)；現(xiàn)將集合A中的100個(gè)元素按原有的順序分成50組，每組至少一個(gè)元素；將集合B中的元素按從小到大的順序排列為B={b₁′，b₂′，，b₅₀′}；
∵f（a₁）≤f（a₂）≤≤f（a₁₀₀），
∴A中的“第1組”元素的象為b₁′，“第2組”元素的象為b₂′，，“第50組”元素的象為b₅₀′，此處沒(méi)有排列的問(wèn)題，即只要A中元素的分組確定了，映射也就隨之確定了；而A中元素的分組可視為在由這100個(gè)元素所形成的99個(gè)“空”中插上49塊“擋板”，所以有C₉₉⁴⁹種分法，即映射共有C₉₉⁹⁹個(gè)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了映射的知識(shí)，關(guān)鍵為逆向思維，B中50個(gè)元素對(duì)應(yīng)A中50組數(shù)據(jù)，即在99個(gè)空位中用49個(gè)擋板隔開(kāi)．