Question

已知函數f(x)＝2cos²x―sin(2x―).

（Ⅰ）求函數的最大值，并寫出取最大值時x的取值集合；

（Ⅱ）已知△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c，若f(A)＝,b＋c＝2，求實數a的最小值。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）所以函數的最大值為2，取最大值時的取值集合；（Ⅱ）實數的最小值為1．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）求函數的最大值，并寫出取最大值時的取值集合，首先將化為一個角的一個三角函數，因此利用二倍角公式及輔助角公式，化簡函數得，即可求得函數的最大值為2，從而可得取最大值時的取值集合；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，故，可求得角的值為，在中，因為，可考慮利用余弦定理來解，由余弦定理得，，即可求得實數的最小值．

試題解析：（Ⅰ）f(x)=2cos²x-sin(2x-)=(1+cos2x)-(sin2xcos-cos2xsin)

=1+sin2x+cos2x=sin(2x+)+1                      (3分)

所以函數的最大值為2.                                 (4分)

此時sin(2x+)=1，即2x+=2kπ+(kz)   解得x=kπ+(kz)

故x的取值集合為{x| x=kπ+，kz}                       (6分)

（Ⅱ）由題意f(A)=sin(2A+)+1=,化簡得sin(2A+)=，

∵A（0，π）,  2A+(,).  A=             (8分)

在三角形ＡＢＣ中，根據余弦定理，

得a²＝b²＋c²－2bc·cos=（b+c)²-3bc                       (10分)

由b+c=2 知bc()²=1, 即a²1 

當b=c=1時,實數a的最小值為1.                           (12分)

考點：余弦定理的應用；兩角和與差的正弦函數；二倍角的余弦．