Question

如圖，正方形ABCD的邊長為2，將四條邊對應的第腰三角形折起構成一個正四棱錐P-ABCD．
（1）當Q為PC為中點時，證明PA∥平面BDQ；
（2）當等腰三角形的腰長為多少時，異面直線PA與BC所成的角為60°；
（3）當側棱與底面所成的角為60°時，求相鄰兩個側面所成的二面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）要證PA∥平面BDQ，根據Q為PC的中點，可想到連結AC交BD于O，連結OQ，然后利用三角形中位線知識得到線線平行，從而得到線面平行；
（2）建立適當的空間坐標系，設出P點坐標，求出直線PA與BC所對應的向量，利用兩向量所成角為60°求正四棱錐的高，從而求出等腰三角形的腰長；
（3）求出相鄰兩個側面的法向量，利用法向量所成角的余弦值求相鄰兩個側面所成的二面角的余弦值．

解答：（1）證明：如圖，

連結AC交BD于點O，連結OQ，∵點O，Q分別是AC，PC的中點，∴OQ∥AP，
又OQ?平面BDQ，PA?平面BDQ，∴PA∥平面BDQ；
（2）建立空間直角坐標系O-xyz如圖所示，
不妨設高OP=x，則A（1，-1，0），P（0，0，x），
所以

AP

=(-1，1，x)，

BC

=(-2，0，0)．
所以cos＜

AP

，

BC

＞=

AP • BC

| AP |•| BC |

=

2

2+x2 •2

=

1

2+x2

．
要使異面直線AP與BC所成的角為60°，只需

1

2+x2

=cos60°=

1

2

，解得x=

2

．
此時側棱長也就是三角形的腰長為2；
（3）側棱與底面所成的角也就是∠PBO=60°時，

OP

OB

=

3

，而OB=

2

，所以OP=

6

所以

AP

=(-1，1，

6

)，

AB

=(0，2，0)．
不妨設平面PAB的一個法向量為

m

=(x，y，z)，則有

AP • m =0 AB • m =0

，即

-x+y+ 6 z=0 2y=0

，令x=

6

，得y=0，z=1．
所以

m

=(

6

，0，1)．
同理可得平面PBC的一個法向量為

n

=(0，

6

，1)．
所以cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

1

7 • 7

=

1

7

．
所以相鄰兩個側面所成二面角的余弦值為-

1

7

．

點評：本題考查了直線與平面平行的判定，考查了直線與平面所成的角，考查了二面角的平面角，利用空間向量求解線面角和二面角時，關鍵是選擇適當的空間右手系，同時需要注意的是二面角與其平面法向量所成角的關系，是中檔題．