Question

已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的離心率為

2

，焦點到漸近線的距離為1．
（1）求雙曲線的方程；
（2）設直線y=kx+1與雙曲線C的左支交于A、B兩點，求k的取值范圍；
（3）若另一條直線l經過點P（-2，0）及線段AB的中點，求直線l在y軸上的截距b₀的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的離心率為

2

，知a=b，由雙曲線焦點（

2

a，0）到漸近線x±y=0的距離為1，知

2 a

2

=1，由此能求出雙曲線方程．
（2）設A₁（x₁，y₁），B（x₂，y₂），將直線y=kx+1代入雙曲線x²-y²=1，得（1-k²）x²-2kx-2=0，因與左支交于兩點，則

1-k2≠0 △=4k2+8(1-k2)＞0 x1+x2= 2k 1-k2 ＜-2 (x1+1)(x2+1)≥0

，由此能求出k的取值范圍．
（3）AB的中點為（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

），所以直線l的方程為y=

1

-2k2+k+2

（x+2），令x=0，得b=

2

-2k2+k+2

=

1

-(k- 1 4 )2+ 17 16

，由此能求出b的取值范圍．

解答：解：（1）∵雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的離心率為

2

，
∴a=b，
∵雙曲線焦點（

2

a，0）到漸近線x±y=0的距離為1，
∴

2 a

2

=1，
解得a=b=1，
∴雙曲線方程為x²-y²=1．
（2）設A₁（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
將直線y=kx+1代入雙曲線x²-y²=1，得
（1-k²）x²-2kx-2=0，
因與左支交于兩點，則
∴

1-k2≠0 △=4k2+8(1-k2)＞0 x1+x2= 2k 1-k2 ＜-2 (x1+1)(x2+1)≥0

解得1＜k＜

2

．
（3）AB的中點為（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

），
即（

k

1-k2

，

k

1-k2

），
∴直線l的方程為y=

1

-2k2+k+2

（x+2），
令x=0，得b=

2

-2k2+k+2

=

1

-(k- 1 4 )2+ 17 16

，
∵1＜k＜

2

，
∴b∈(-∞，-2-

2

)∪(2，+∞)．

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，綜合性強，是高考的重點．本題具體涉及到軌跡方程的求法及直線與雙曲線的相關知識，解題時要認真審題，注意合理地進行等價轉化．