Question

已知函數(shù)f(x)=

1

3

x3-x2+ax（a為常數(shù)）
（1）若f（x）在區(qū)間[-1，2]上單調(diào)遞減，求a的取值范圍；
（2）若f（x）與直線y=-9相切：
（ⅰ）求a的值；
（ⅱ）設(shè)f（x）在x₁，x₂（x₁＜x₂）處取得極值，記點(diǎn)M （x₁，f（x₁）），N（x₂，f（x₂）），P（m，f（m）），x₁＜m＜x₂，若對(duì)任意的m∈（t，x₂），線段MP與曲線f（x）均有異于M，P的公共點(diǎn)，試確定t的最小值，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）f（x）在區(qū)間[-1，2]上單調(diào)遞減可得f′（x）=x²-2x+a≤0在x∈[-1，2]上恒成立，分離常數(shù)啊a，只需求出（-x²+2x）在給定區(qū)間的最小值即可；（2）
（i）f（x）與直線y=-9相切，故x²-2x+a=0①，且

1

3

x3-x2+ax=-9②聯(lián)立解得x值，進(jìn)而求a的值，（ii）線段MP與曲線f（x）有異于M，P的公共點(diǎn)等價(jià)于上述方程在（-1，m）上有實(shí)根等價(jià)于g′（x）=3x²-6x-（m²-4m+4）=0在（-1，m）內(nèi)有兩不相等的實(shí)根，解關(guān)于m的不等式可得．

解答：解：（1）f（x）在區(qū)間[-1，2]上單調(diào)遞減，則f′（x）≤0在x∈[-1，2]上恒成立，
即x²-2x+a≤0在x∈[-1，2]上恒成立，由a≤-x²+2x得，a≤（-x²+2x）_min
而y=-x²+2x是開(kāi)口向下的拋物線對(duì)稱(chēng)軸為直線x=1，故在x=-1處取到最小值-3，
故a的取值范圍為：a≤-3
（2）（i）f（x）與直線y=-9相切，故x²-2x+a=0①，且

1

3

x3-x2+ax=-9②
由①得a=-x²+2x代入②得

1

3

x3-x2-x3+2x2=-9，化簡(jiǎn)得2x³-3x²-27=0，
即x³-3x²+x³-27=0，故x²（x-3）+（x-3）（x²+3x+9）=0，
則（x-3）（2x²+3x+9）=0，而2x²+3x+9恒大于0，只有x-3=0，
故x=3代入a=-x²+2x，得a=-3  
（ii）由（i）得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1）和（3，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，3），
所以函數(shù)在x=-1，x=3處取得極值，故M（-1，

5

3

）N（3，-9）
所以直線MP的方程為y=

m2-4m-5

3

x+

m2-4m

3

，
由

y= m2-4m-5 3 x+ m2-4m 3 y= 1 3 x3-x2-3x

得x³-3x²-（m²-4m+4）x-m²-4m=0
線段MP與曲線f（x）有異于M，P的公共點(diǎn)等價(jià)于上述方程在（-1，m）上有實(shí)根，
即函數(shù)g（x）=x³-3x²-（m²-4m+4）x-m²-4m在（-1，m）上有零點(diǎn)．
又因?yàn)楹瘮?shù)g（x）為三次函數(shù)，所以g（x）至多有三個(gè)零點(diǎn)，兩個(gè)極值點(diǎn)，
又因?yàn)間（-1）=g（m）=0，
因此，g（x）在（-1，m）上有零點(diǎn)等價(jià)于g（x）在（-1，m）上恰有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)，
即g′（x）=3x²-6x-（m²-4m+4）=0在（-1，m）內(nèi)有兩不相等的實(shí)根，
等價(jià)于

△=36+12(m2-4m+4)＞0 3(-1)2+6-(m2-4m+4)＞0 3m2-6m-(m2-4m+4)＞0 m＞1

即

-1＜m＜5 m＞2或m＜-1 m＞1

，
解得2＜m＜5又-1＜m≤3，所以m 的取值范圍為（2，3）
故滿足題設(shè)條件的t的最小值為2．

點(diǎn)評(píng)：本題為函數(shù)導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，分離常數(shù)把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬中檔題．