Question

已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，它的一個頂點B恰好是拋物線的焦點，且離心率等于，直線與橢圓C交于M，N兩點。

   （1）求橢圓C的方程；

   （2）橢圓C的右焦點F是否可以為的垂心？若可以，求出直線的方程；若不可以，請說明理由。

Answer 1

（1）；

   （2）當且僅當直線的方程為時，橢圓C的右焦點F是可以為的垂心

解析:

（1）設橢圓C的方程：,

       由題意知

       又，即

       ………………………4分

   （2）假設存在直線使得是的垂心，易得直線BF的斜率為-1，

       從而直線的斜率為1，可設直線的方程為，代入，

       并整理得

設

       則…………………6分

      

      

      

       …………………8分

       解得…………………9分

       當時點B為直線與橢圓的一個交點，不合題意；

       當時，經檢驗知直線與橢圓相交兩點，且滿足符合題意；

       綜上得當且僅當直線的方程為時，橢圓C的右焦點F是可以為的垂心……………………12分