Question

【題目】已知等差數列的前項和為，并且，數列滿足：，記數列的前項和為.

（1）求數列的通項公式及前項和為；

（2）求數列的通項公式及前項和為；

（3）記集合，若的子集個數為16，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2），；（3）

【解析】

試題分析：（1）數列是等差數列，可把已知用表示出來，列出方程組，解出，從而得到通項公式和膠項和；（2）由已知得，這是數列前后項的比值，因此可用連乘法求得通項，即，從而有，它可看作是一個等差數列和一個等比數列的乘積，因此其前項和用乘公比錯位相減法求得；（3）由（1）（2）求得，不等式恒成立，即恒成立，只要求得的最小值即可，先求出前面幾項，觀察歸納猜想出單調性并給出證明（可用證明數列的單調性），從而可求得最小值，得范圍．

試題解析：（1）設數列的公差為，由題意得

（2）由題意得

疊乘得

由題意得①

②

②-①得：

（3）由上面可得令

則

下面研究數列的單調性，

時，即單調遞減.

所以不等式解的個數為4，.