Question

巳知無窮數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正整數(shù)，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和．
（Ⅰ）若數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，且對(duì)任意正整數(shù)n都有Sn3=(Sn)3成立，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）對(duì)任意正整數(shù)n，從集合{a₁，a₂，a₃，…a_n}中不重復(fù)地任取若干個(gè)數(shù)，這些數(shù)之間經(jīng)過加減運(yùn)算后所得數(shù)的絕對(duì)值為互不相同的正整數(shù)，且這些正整數(shù)與a₁，a₂，a₃，…a_n一起恰好是1至S_n全體正整數(shù)組成的集合．
 （1）求a₁，a₂，的值；
 （2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）寫出等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，結(jié)合對(duì)任意正整數(shù)n都有Sn3=(Sn)3成立列式求取首項(xiàng)和公差，從而得到兩個(gè)無窮等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）（1）由題意利用用集合相等求得a₁，a₂的值；
（2）有題意可知，集合{a₁，a₂，a₃，…a_n}按上述規(guī)則共產(chǎn)生S_n個(gè)正整數(shù)，而集合{a₁，a₂，a₃，…，a_n，a_n+1}按上述規(guī)則共產(chǎn)生S_n+1個(gè)正整數(shù)中，
除1，2，…，S_n這S_n個(gè)正整數(shù)外，還有a_n+1，a_n+1+i，|a_n+1-i|（i=1，2，…，S_n）共2S_n+1個(gè)數(shù)．∴S_n+1=S_n+（2S_n+1）=3S_n+1．結(jié)合Sn+1+

1

2

=3(Sn+

1

2

)求得S_n，然后由S_n-S_n-1求通項(xiàng)．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)無窮等差數(shù)列{a_n}的公差為d，則Sn=na1+

n(n-1)d

2

=n[

d

2

n+(a1-

d

2

)]．
∴Sn3=n3[

d

2

n3+(a1-

d

2

)]
且(Sn)3=n3[

d

2

n+(a1-

d

2

)]=n3[

d3

8

n3+3×

d2

4

(a1-

d

2

)n2+3×

d

2

(a1-

d2

2

)n+(a1-

d

2

)3]．
∵對(duì)任意正整數(shù)n都有Sn3=(Sn)3成立，
∴

d3 8 = d 2               ① 3d2 4 (a1- d 2 )=0  ② 3d 2 (a1- d 2 )2=0  ③ (a1- d 2 )3=a1- d 2 ④

∵數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，∴d≥0．
由①可知d=0或d=2，當(dāng)d=0時(shí)，由④得a₁=1，且同時(shí)滿足②③．
當(dāng)d=2時(shí)，由②得a1=

d

2

=1，且同時(shí)滿足③④．
因此，共有兩個(gè)無窮等差數(shù)列滿足條件，通項(xiàng)公式為a_n=1或a_n=2n-1；
（Ⅱ）（1）記A_n={1，2，…，S_n}，顯然a₁=S₁=1．
對(duì)于S₂=a₁+a₂=1+a₂，有A₂={1，2，…，S₂}={1，a₂，1+a₂，|1-a₂|}={1，2，3，4}，
故1+a₂=4，∴a₂=3．
（2）有題意可知，集合{a₁，a₂，a₃，…a_n}按上述規(guī)則共產(chǎn)生S_n個(gè)正整數(shù)，而集合{a₁，a₂，a₃，…，a_n，a_n+1}按上述規(guī)則共產(chǎn)生S_n+1個(gè)正整數(shù)中，
除1，2，…，S_n這S_n個(gè)正整數(shù)外，還有a_n+1，a_n+1+i，|a_n+1-i|（i=1，2，…，S_n）共2S_n+1個(gè)數(shù)．
∴S_n+1=S_n+（2S_n+1）=3S_n+1．
又Sn+1+

1

2

=3(Sn+

1

2

)．
∴Sn=(S1+

1

2

)•3n-1-

1

2

=

1

2

•3n-

1

2

．
當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=3n-1．
而a₁=1滿足an=3n-1．
故數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為an=3n-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查了由數(shù)列的和求其通項(xiàng)公式，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，該題綜合考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力，在數(shù)列試題中屬于難度較大的題目．