Question

已知函數f（x）=x³-ax+1（a∈R）
（1）當a=3時，求函數f（x）的單調區間．
（2）若函數f（x）在區間（1，2）上有極小值點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求單調區間，先求導，令導函數大于0和小于0即可；
（2）函數f（x）極小值點在區間（1，2）內，說明f'（x）=0有一根在（1，2）內，對字母a分兩種情況討論①當a≤0時，②當a＞0時，結合函數的單調性與極值點的關系求出a的范圍．

解答：解：（1）當a=3時，f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）
令f′（x）＞0，
解得x＜-1或x＞1，
令f′（x）＜0，解得-1＜x＜1 
∴f（x）的單調遞增區間為（-∞，-1），（1，+∞），f（x）的單調遞減區間為 （-1，1）

（2）∵函數f（x）=x³-ax+1則f'（x）=3x³-a．
①當a≤0時，由題意知3x³-a≥0，f（x）在R是增函數，故函數f（x）在區間（1，2）是增函數，無極小值點，
不合題意；
②當a＞0時，f（x）在區間（-

a 3

，

a 3

）是減函數，f（x）在區間（-∞，-

a 3

），（

a 3

，+∞）是增函數，
∴1＜

a 3

＜2，即3＜a＜12．
∴a的范圍是（3，12）．

點評：本題考查函數單調性的判斷和已知函數極值點求參數的范圍，求參數范圍，注意用函數的思想，借助函數的圖象，易于理解，化難為易，此題綜合性較強．