Question

從原點出發的某質點M，按向量

a

=（0，1）移動的概率為

2

3

，按向量

b

=（0，2）移動的概率為

1

3

，設可達到點（0，n）的概率為P_n，求：
（1）求P₁和P₂的值．
（2）求證：P_n+2=

1

3

P_n+

2

3

P_n+1．
（3）求P_n的表達式．

Answer 1

分析：（1）P₁為到達點（0，1）的概率，要到達（0，1）只有按向量

a

移動才可能，故P₁=

2

3

，P₂為到達點（0，2）的概率，要到達（0，2）有兩種方法，第一種直接按向量

b

可到達；第二種兩次都按向量

a

走．故 P2=

2

3

•

2

3

+

1

3

．
（2）找出P_n+2、P_n+1、P_n的關系即 Pn+2=

2

3

Pn+1+

1

3

Pn，即可得到答案．
（3）構造新數列{P_n+1-P_n}是以P₂-P₁為首項，-

1

3

為公比的等比數列，由等比數列求和可得答案．

解答：解：（1）．P₁=

2

3

，P2=(

2

3

)2+

1

3

=

7

9

．
（2）．證明：到達點（0，n+2）有兩種情況：從點（0，n）按向量

b

=(0，2)移動；
從點（0，n+1）按向量

a

=（0，1）移動，概率分別為P_n×

1

3

與Pn+1×

2

3

，所以Pn+2=

1

3

Pn+

2

3

Pn+1．
（3）．由（2）得P_n+2-P_n+1=-

1

3

(Pn+1-Pn)，故數列{P_n+1-P_n}是以P₂-P₁=

1

9

為首項，-

1

3

為公比的等比數列，
故P_n+1-P_n=

1

9

•(-

1

3

)n-1=(-

1

3

)n+1，
于是P_n-P₁=（Pn-Pn-1)+…+(P2-P1)=

1

12

•[1-(-

1

3

)n-1]∴Pn=

3

4

+

1

4

•(-

1

3

)n．

點評：本題主要考查構造等比數列的方法．等比數列是高考中必考題，有時題中的數列不是等比的，要通過自己構造新的數列使之成為等比數列進而解題．