Question

有甲、乙兩種商品，經營銷售這兩種商品所得的利潤依次為M萬元和N萬元，它們與投入資金x萬元的關系可由經驗公式給出：M=

x

4

，N=

3

4

x-1

 （x≥1）．今有8萬元資金投入經營甲、乙兩種商品，且乙商品至少要求投資1萬元，為獲得最大利潤，對甲、乙兩種商品的資金投入分別是多少？共能獲得多大利潤？

Answer 1

分析：設投入乙種商品的資金為x萬元，則投入甲種商品的資金為（8-x）萬元，故可知共獲利潤y=

1

4

(8-x)+

3

4

x-1

 令

x-1

=t�。�0≤t≤

7

），則x=t²+1，從而y=

1

4

(7-t2)+

3

4

t=-

1

4

(t-

3

2

)2+

37

16

，由此可求獲最大利潤時，投入甲種、乙種商品的資金．

解答：解：設投入乙種商品的資金為x萬元，則投入甲種商品的資金為（8-x）萬元，…（2分）
共獲利潤y=

1

4

(8-x)+

3

4

x-1

        …（6分）
令

x-1

=t�。�0≤t≤

7

），則x=t²+1，
∴y=

1

4

(7-t2)+

3

4

t=-

1

4

(t-

3

2

)2+

37

16

…（10分）
故當t=

3

2

時，可獲最大利潤 

37

16

萬元．…（12分）
此時，投入乙種商品的資金為

13

4

萬元，
投入甲種商品的資金為

19

4

萬元．…（14分）

點評：本題考查函數模型的選擇與應用，通過對實際問題的分析，構造數學模型從而解決問題．需要對知識熟練的掌握并應用，屬于中檔題．