Question

已知函數。

     （1）若函數是上的增函數，求實數的取值范圍；

     （2）當時，若不等式在區間上恒成立，求實數的取值范圍；

     （3）對于函數若存在區間，使時，函數的值域也是，則稱是上的閉函數。若函數是某區間上的閉函數，試探求應滿足的條件。

Answer 1

（1）（2）（3）

解析:

（1） 當時，

         設且，由是上的增函數，則      2分

         3分

         由，知，所以，即      5分

   （2）當時，在上恒成立，即      6分

         因為，當即時取等號，        8分

         ，所以在上的最小值為。則        10分

   （3）因為的定義域是，設是區間上的閉函數，則且        11分

         ①若

         當時，是上的增函數，則，

         所以方程在上有兩不等實根，

         即在上有兩不等實根，所以

         ，即且    13分

         當時，在上遞減，則，即

         ，所以  14分

②若

當時，是上的減函數，所以，即

，所以     15分