Question

（本小題滿分10分） 如圖，已知橢圓C：，經過橢圓的右焦點F且斜率為的直線l交橢圓C于A、B兩點，M為線段AB的中點，設O為橢圓的中心，射線OM交橢圓于N點．（I）是否存在，使對任意，總有成立？若存在，求出所有的值；
（II）若，求實數的取值范圍．

Answer 1

（1）
（2）且k≠0

解：（1）橢圓C：
直線AB：y＝k（x－m）,                                          
，（10k²＋6）x²－20k²mx＋10k²m²－15m²＝0．  
設A（x₁, y₁）、B（x₂,y₂）,則x₁＋x₂＝，x₁x₂＝   
則x_m＝             
若存在，使為ON的中點，∴．
∴，
即N點坐標為．                           
由N點在橢圓上，則    
即5k⁴－2k²－3＝0．∴或（舍）．
故存在，使．··········5分                             
（2）＝x₁x₂＋k²（x₁－m）（x₂－m）
＝（1＋k²）x₁x₂－k²m（x₁＋x₂）＋k₂m²
＝（1＋k²）·     
由得    
即k²－15≤－20k²－12，且k≠0．··········10分