Question

將一個四棱錐的每個頂點染上一種顏色，并使同一條棱上的兩個頂點不同色，現有5種不同顏色可用，則不同染色方法的總數是

420

．（用數字作答）

Answer 1

分析：首先給頂點P選色，有5種結果，再給A選色有4種結果，再給B選色有3種結果，最后分兩種情況即C與A同色與C與A不同色來討論，根據分步計數原理和分類計數原理得到結果．

解答：解：四棱錐為P-ABCD．下面分兩種情況即C與B同色與C與B不同色來討論，
（1）各個點的不同的染色方法 P：C₅¹，A：C₄¹，B：C₃¹，C與A同色：D：C₃¹ ，
故共有

C

1 5

•C₄¹•C₃¹•C₃¹ 種．
（2）各個點的不同的染色方法 P：C₅¹，A：C₄¹，B：C₃¹，C與A不同色C₂¹，D：C₂¹，
故共有

C

1 5

•C₄¹•C₃¹•C₂¹•C₂¹ 種
由分步計數原理可得不同的染色方法總數有：

C

1 5

•C₄¹•C₃¹•C₃¹ +

C

1 5

•C₄¹•C₃¹•C₂¹•C₂¹ =420．
故答案為：420．

點評：本題主要排列與組合及兩個基本原理，總結此類問題的做法，對于復雜一點的計數問題，有時分類以后，每類方法并不都是一步完成的，必須在分類后又分步，綜合利用兩個原理解決，屬于中檔題．