Question

已知不等式x²-x-m+1＞0．
（1）當m=3時解此不等式；
（2）若對于任意的實數x，此不等式恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當m=3時，不等式x²-x-2＞0，解可得答案；
（2）不等式x²-x-m+1＞0對任意實數x恒成立，設y=x²-x-m+1，再利用大于0恒成立須滿足的條件：開口向上，判別式小于0來解m的取值范圍．

解答：解：（1）當m=3時，
不等式x²-x-2＞0
解得：x∈（-∞，-1）∪（2，+∞）
（2）設y=x²-x-m+1
∵不等式x²-x-m+1＞0對于任意的x都成立
∴對?x∈R，y＞0恒成立
∴△=1²+4（m-1）＜0
∴m∈(-∞，

3

4

)
故實數m的取值范圍m∈(-∞，

3

4

)．

點評：本題考查了一次函數和二次函數的恒成立問題．本題的關鍵在于“轉化”，先將不等式恒成立轉化為函數恒成立問題，再利用二次函數與x軸無交點解決問題．