Question

已知命題P：函數f(x)=

1

3

(1-x)且|f（a）|＜2，命題Q：集合A={x|x²+（a+2）x+1=0，x∈R}，B={x|x＞0}且A∩B=∅，
（1）分別求命題P、Q為真命題時的實數a的取值范圍；
（2）當實數a取何范圍時，命題P、Q中有且僅有一個為真命題；
（3）設P、Q皆為真時a的取值范圍為集合S，T={y|y=x+

m

x

，x∈R，x≠0，m＞0}，若?_RT⊆S，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可得，由|f（a）|=|

1

3

(1-a)|＜2解不等式可得P：a∈（-5，7）；由A∩B=∅，可得A有兩種情況
①若A=∅，則△=（a+2）（a+2）-4＜0，②若A≠φ，則

△=(a+2)2-4≥0 -(a+2)＜0

，解可得Q
（2）當P為真，則

-5＜a＜7 a≤-4

；當Q為真，則

a≤-5或a≥7 a＞-4

可求
（3）當P，Q都為真時，

-5＜a＜7 a＞-4

可求S=（-4，7），利用基本不等式可求T，進而可求?_RT，然后根據?_RT⊆S，可求

解答：解：（1）由題意可得，由|f（a）|=|

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3

(1-a)|＜2可得-6＜a-1＜6
解可得，-5＜a＜7
∴P：a∈（-5，7）
∵集合A={x|x²+（a+2）x+1=0，x∈R}，B={x|x＞0}且A∩B=∅，
①若A=∅，則△=（a+2）（a+2）-4＜0，即-4＜a＜0
②若A≠φ，則

△=(a+2)2-4≥0 -(a+2)＜0

，解可得，a≥0
綜上可得，a＜-4
∴Q：a∈（-4，+∞）
（2）當P為真，則

-5＜a＜7 a≤-4

，a∈（-5，-4]；
當Q為真，則

a≤-5或a≥7 a＞-4

，a∈[7，+∞）
所以a∈（-5，-4]∪[7，+∞）
（3）當P，Q都為真時，

-5＜a＜7 a＞-4

即S=（-4，7）
T=(-∞，-2

m

]∪[2

m

，+∞)
∵?RT=(-2

m

，2

m

)⊆(-4，7)
∴

-2 m ≥-4 2 m ≤7

⇒m≤4
綜上m∈（0，4]

點評：本題主要考查了復合命題真假的應用，解題的關鍵是要把命題P，Q為真時所對應的參數a的范圍準確求出，還要注意集合直接包含關系的應用．