Question

【題目】在數列中，已知，且對于任意正整數n都有．

（1）令，求數列的通項公式；

（2）求的通項公式；

（3）設是一個正數，無論為何值，都有一個正整數使成立．

Answer 1

【答案】（1）；（2）； （3）見解析．

【解析】

（1）由，化為，根據，且，可得且，利用等比數列的通項公式即可得出．

（2）由（1）可得，可得，令，可得，利用等比數列的通項公式可得，即可得出．

（3）假設存在無論為何值，都有一個正整數使成立，代入化簡，即可求解．

（1）由題意，知，所以，

因為，且，

所以且，

所以數列是以為首項，以3為公比的等比數列，所以．

（2）由（1）可得，所以，

令，則，所以，且，

所以數列構成首項為，公比為的等比數列，

所以，即，

所以．

（3）假設存在無論為何值，都有一個正整數使成立，

因為，

即，可得，

取，

因此是一個正數，無論為何值，都有一個正整數使成立，

取的正整數即可．