Question

如圖,四棱錐PABCD中,AB⊥AC,AB⊥PA,AB∥CD,AB=2CD,E,F,G,M,N分別為PB,AB,BC,PD,PC的中點

(1)求證:CE∥平面PAD;
(2)求證:平面EFG⊥平面EMN.

Answer 1

（1）見解析  （2）見解析

證明:(1)取PA的中點H,連接EH,DH.

因為E為PB的中點,
所以EH∥AB,EH=AB.
又AB∥CD,CD=AB,
所以EH∥CD,EH=CD.
因此四邊形DCEH是平行四邊形.
所以CE∥DH.
又DH?平面PAD,CE?平面PAD,
因此CE∥平面PAD.
(2)因為E,F分別為PB,AB的中點,
所以EF∥PA.
又AB⊥PA,
所以AB⊥EF,
同理可證AB⊥FG.
又EF∩FG=F,EF?平面EFG,FG?平面EFG,
因此AB⊥平面EFG.
又M,N分別為PD,PC的中點,
所以MN∥CD,又AB∥CD,
所以MN∥AB,
因此MN⊥平面EFG,
又MN?平面EMN,
所以平面EFG⊥平面EMN.